Question

如图，在△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD，E为垂足，连接AE．
（1）写出图中所有相等的线段，并选择其中一对给予证明；
（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由．

Answer 1

解：（1）ED=DA，EA=EB=EC．
证明：
∵CE⊥BD，
∴△CED是直角三角形．
∵∠BDC=60°，
∴∠ECD=30°．
∴CD=2DE．
∵CD=2DA，
∴DE=DA．

（2）有，△ADE∽△AEC．
由（1）的结论可知∠DAE=∠DEA=30°=∠ECA，
∴△ADE∽△AEC．
分析：在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半，所以CD=2ED，则可证明DE=AD，再利用三角形的内角和定理可判断∠DAE=∠DEA=30°，∠EAB=∠EBA=15°，∠CBE=∠BCE=45°，则图中相似三角形和相等的线段都可求．
点评：此题主要考查了三角形的内角和定理、直角三角形中30°角的特殊性质，及相似三角形的判定定理．