Question

如图，已知△ABC 中，∠ABC=45°，AD是BC边上的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且BF=AC．
请说明：
（1）∠1=∠2；
（2）BE⊥AC．

Answer 1

证明：（1）∵AD⊥BD，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠DAB=45°=∠ABD，
∴BD=AD，
在Rt△BDF和Rt△ADC中
∵，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL），
∴∠1=∠2；

（2）∵∠2+∠C=90°，∠1=∠2，
∴∠1+∠C=90°，
∴∠BEC=180°-90°=90°，
∴BE⊥AC．
分析：（1）求出∠ABD=∠BAD，求出BD=AD，根据HL证Rt△BDF≌Rt△ADC，推出∠1=∠2即可；
（2）根据∠1=∠2，∠2+∠C=90°，求出∠1+∠C=90°，求出∠BEC=90°，根据垂直定义推出即可．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，垂直定义等知识点的综合运用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．