Question

如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x²﹣14x+48=0的两个实数根．

（1）求C点坐标；

（2）求直线MN的解析式；

（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．

Answer 1

考点：

一次函数综合题

分析：

（1）通过解方程x²﹣14x+48=0可以求得OC=6，OA=8．则C（0，6）；

（2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0）．把点A、C的坐标分别代入解析式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组即可求得它们的值；

（3）需要分类讨论：PB为腰，PB为底两种情况下的点P的坐标．根据等腰三角形的性质、两点间的距离公式以及一次函数图象上点的坐标特征进行解答．

解答：

解：（1）解方程x²﹣14x+48=0得

x₁=6，x₂=8．

∵OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x²﹣14x+48=0的两个实数根，

∴OC=6，OA=8．

∴C（0，6）；

（2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0）．

由（1）知，OA=8，则A（8，0）．

∵点A、C都在直线MN上，

∴，

解得，，

∴直线MN的解析式为y=﹣x+6；

（3）∵A（8，0），C（0，6），

∴根据题意知B（8，6）．

∵点P在直线MNy=﹣x+6上，

∴设P（a，﹣a+6）

当以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论：

①当PC=PB时，点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点，则P₁（4，3）；

②当PC=BC时，a²+（﹣a+6﹣6）²=64，

解得，a=，则P₂（﹣，），P₃（，）；

③当PB=BC时，（a﹣8）²+（﹣a+6﹣6）²=64，

解得，a=，则﹣a+6=﹣，∴P₄（，﹣）．

综上所述，符合条件的点P有：P₁（4，3），P₂（﹣，）P₃（，），P₄（，﹣）．

点评：

本题考查了一次函数综合题．其中涉及到的知识点有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质．解答（3）题时，要分类讨论，防止漏解．另外，解答（3）题时，还利用了“数形结合”的数学思想．