Question

如图1，O为圆柱形铁桶底面的圆心，过底面的一条弦AD，沿母线AB剖开，得剖面矩形ABCD，AD=30cm．测量出AD所对的圆心角为120°，如图2所示．
（1）求⊙半径；
（2）若将图2中的△AOD割掉，用剩下的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径应是多少cm．（结果保留根号）

Answer 1

分析：（1）连接OA、OD，过O点作OE⊥AD，垂足为E，如图2所示，由OE垂直于AD，利用垂径定理得到E为AD的中点，由AD的长求出AE的长，同时由OA=OD，OE垂直于AD，利用三线合一得到OE为∠AOD的平分线，由∠AOD的度数求出∠AOE的度数，在直角三角形AOE中，由AE的长，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出OA的长，即为圆O的半径；
（2）由扇形弧长等于底面圆的周长，进而求出圆锥的底面半径．

解答：解：（1）连接OA、OD，过O点作OE⊥AD，垂足为E，如图2所示，
∵OE⊥AD，∠AOD=120°，AD=30cm，
∴AE=DE=

1

2

AD=15cm，∠AOE=

1

2

∠AOB=60°，
在Rt△AOE中，sin∠AOE=

AE

OA

，
∴OA=

AE

sin∠AOE

=

15

sin60°

=10

3

（cm），
则圆O的半径为10

3

cm；

（2）∵AD所对的圆心角为120°，
∴

AmD

=

240π×10 3

180

=2πr，
解得：r=

20 3

3

（cm）．

点评：此题考查了垂径定理的应用，涉及的知识有：锐角三角函数定义，垂径定理，特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．