Question

如图，已知△ABO的顶点A和AB边的中点C都在双曲线y=

4

x

（x＞0）的一个分支上，点B在x轴上，CD⊥OB于D，则△AOC的面积为（　　）

• A、2
• B、3
• C、4
• D、

  3

  2

Answer 1

分析：过点A作AM⊥OB于M，设点A坐标为（x，y），根据过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=

1

2

|k|．可求出S_△AMO和S_△AMB，进而求出S_△AOB，又因为C为AB中点，所以△AOC的面积为△AOB面积的一半，问题得解．

解答：解：过点A作AM⊥OB于M，设点A坐标为（x，y），
∵顶点A在双曲线y=

4

x

（x＞0）图象上，
∴xy=4，
∴S_△AMO=

1

2

OM•AM=

1

2

xy=2，
设B的坐标为（a，0），
∵中点C在双曲线y=

4

x

（x＞0）图象上，CD⊥OB于D，
∴点C坐标为（

a+x

2

，

y

2

），
∴S_△CDO=

1

2

OD•CD=

1

2

•

a+x

2

•

y

2

=2，
整理，ay+xy=16，
∵xy=4，
∴ay=16-4=12，
∵S_△AOB=S_△AOM+S_△AMB
=2+

1

2

•（a-x）y
=2+

1

2

ay-

1

2

xy=2+

1

2

×12-

1

2

×4
=6，
又∵C为AB中点，
∴△AOC的面积为

1

2

×6=3．
故选B．

点评：本题主要考查了反比例函数 y=

k

x

中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为

1

2

|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．