Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，若点A的坐标是（1，0），点B在点A的右侧．
（1）c=______；
（2）求a的取值范围；
（3）若过点C且平行于x轴的直线交该抛物线于另一点D，AD、BC交于点P，记△PCD的面积为S₁，△PAB的面积为S₂，求S₁-S₂的值．

Answer 1

解：（1）将点C（0，1）代入二次函数y=ax²+bx+c（a＞0），可得1=0+0+c，
解得c=1；

（2）将点A（1，0）代入二次函数y=ax²+bx+1（a＞0），可得a+b+1=0，即b=-（a+1），
∵二次函数与x轴交于不同的两点，
∴△=b²-4ac=（a-1）²＞0，
∴a≠1，
∵点B在点A的右侧，
∴对称轴直线x=-＞1．
∵a＞0，
∴2a+b＜0，
∴a＜1，
∴a的取值范围是：0＜a＜1；

（3）解方程：ax²-（a+1）x+1=0，
得：x₁=1，x₂=．
∴AB=．
把y=1代入y=ax²-（a+1）x+1，得x₁=0，x₂=．
∴CD=．
∵S₁-S₂=S_△PCD-S_△PAB=S_△ACD-S_△CAB，
∴S₁-S₂=××1-××1=1．
故答案为：1．
分析：（1）将点C（0，1）代入二次函数y=ax²+bx+c（a＞0），即可求得c的值；
（2）将点A（1，0）代入二次函数y=ax²+bx+1（a＞0），可得a+b+1=0，即b=-（a+1），二次函数与x轴交于不同的两点，根据判别式可得a≠1，点B在点A的右侧，可得对称轴直线x=-＞1．从而得到a的取值范围是：0＜a＜1；
（3）解方程：ax²-（a+1）x+1=0，得AB=．把y=1代入y=ax²-（a+1）x+1，得CD=．S₁-S₂=S_△PCD-S_△PAB=S_△ACD-S_△CAB，根据三角形面积公式代入计算即可求解．
点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：代入法的运用，根与判别式的关系，对称轴公式，解方程，三角形面积计算，综合性较强．