题目内容

我们知道：平行四边形的面积=（底边）×（这条底边上的高）．
如图，四边形ABCD都是平行四边形，AD∥BC，AB∥CD，设它的面积为S．
（1）如图①，点M为AD上任意一点，则△BCM的面积S₁=S，
△BCD的面积S₂与△BCM的面积S₁的数量关系是．
（2）如图②，设AC、BD交于点O，则O为AC、BD的中点，试探究△AOB的面积与△COD的面积之和S₃与平行四边形的面积S的数量关系．
（3）如图③，点P为平行四边形ABCD内任意一点时，记△PAB的面积为Sˊ，△PCD的面积为S〞，平行四边形ABCD的面积为S，猜想得Sˊ、S〞的和与S的数量关系式为__．
（4）如图④，已知点P为平行四边形ABCD内任意一点，△PAB的面积为3，△PBC的面积为7，求△PBD的面积．

解：

（1）设?ABCD中BC边上的高为h₁，CD边上的高为h₂，
∵S_?ABCD=BC•h₁=CD•h₂=S，
S_△BCM= $\text{[math]}$ BC•h₁= $\text{[math]}$ S，S_△BCD= $\text{[math]}$ CD•h₂= $\text{[math]}$ S，
∴S₁= $\text{[math]}$ S，S₁=S₂（或相等）．
故答案为： $\text{[math]}$ ；S₁=S₂；

（2）S₃= $\text{[math]}$ S
理由：∵O为AC、BD的中点，
∴S₃=S_△AOB+S_△COD= $\text{[math]}$ S_△ABD+ $\text{[math]}$ S_△BCD= $\text{[math]}$ （S_△ABD+S_△BCD）= $\text{[math]}$ S；

（3）设?ABCD中CD边上的高为h₂，△ABP中AB边上高为h₃，△PCD中CD边上的高为h₄，
∵AB∥CD，
∴h₃+h₄=h₂，
∴S_△PAB+S_△PCD= $\text{[math]}$ AB•h₃+ $\text{[math]}$ CD•h₄= $\text{[math]}$ AB（h₃+h₄） $\text{[math]}$ AB•h₂= $\text{[math]}$ S，即S′+S″= $\text{[math]}$ S；
故答案为：S′+S″= $\text{[math]}$ S；

（4）∵S_△PAB+S_△PCD= $\text{[math]}$ S=S_△BCD，S_△PAB=3，S_△PBC=7，
∴S_△PBD=S_{四边形PBCD}-S_△BCD=S_△PBC+S_△PCD-S_△BCD，即S_△PBD=7+（ $\text{[math]}$ S-3）- $\text{[math]}$ S=7-3=4．
分析：（1）设?ABCD中BC边上的高为h₁，CD边上的高为h₂，再根据平行四边形的面积与三角形的面积公式求解即可；
（2）根据O为AC、BD的中点，故可得出S₃=S_△AOB+S_△COD= $\text{[math]}$ S_△ABD+ $\text{[math]}$ S_△BCD= $\text{[math]}$ （S_△ABD+S_△BCD）= $\text{[math]}$ S；
（3）设?ABCD中CD边上的高为h₂，△PAB中AB边上高为h₃，△PCD中CD边上的高为h₄，再根据平行四边形的面积与三角形的面积公式求解即可；
（4）根据S_△PBD=S_{四边形PBCD}-S_△BCD=S_△PBC+S_△PCD-S_△BCD即可得出结论．
点评：本题考查的是平行四边形的性质，熟知平行四边形及三角形的面积公式是解答此题的关键．