Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，cosB=

4

5

，点D在边BC上，tan∠CAD=

1

2

．
（1）求BD长；
（2）设

CA

=

a

，

CB

=

b

，用

a

、

b

的线性组合表示

AD

．

Answer 1

分析：（1）由于△ABC是直角三角形，所以直接根据锐角三角函数的定义即可求出BC的值，再由勾股定理求出AC的长度，在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义可求出CD的长，进而可求出BD的长；
（2）由CD，CB的长度可知，CD=

3

8

BC，再用

a

、

b

的线性组合表示出

AD

即可．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AB=10，cosB=

4

5

，
∴BC=AB•cosB=10×

4

5

=8．（2分）
AC=

AB2-BC2

=

102-82

=6．（1分）
在Rt△ACD中，CD=AC•tan∠CAD=6×

1

2

=3．（2分）
BD=BC-CD=8-3=5；（1分）

（2）∵CD=3，CB=8，
∴CD=

3

8

BC，
∴

CD

=

3

8

CB

=

3

8

b

．（2分）
∴

AD

=

CD

-

CA

=

3

8

b

-

a

．（2分）

点评：本题考查的是解直角三角形及平面向量的基础知识，比较简单．