Question

如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，点B是⊙O 上一点，连接BP并延长，交直线l于点C，使得 AB=AC.  

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若PC=，OA=5，求⊙O的半径

和线段PB的长．

 

 

Answer 1

解：（1）连接OB。

∵AB=AC    ∴∠ACP=∠ABC

∵OP=OB，  ∴∠2=∠3

∵OA⊥AC   ∴∠OAC=90°

∴∠1+∠ACP=90°

∵∠2=∠3=∠1

∴∠3+∠ABC=90°     

∴AB是⊙O的切线    

（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，

设圆半径为r，则由OA=5得，OP=OB=r，PA=5－r

又∵PC=，

∴

由（1）AB=AC得，

解得：r=3     

∴AB=AC=4

∵PD是直径，∴∠PBD=90°=∠PAC

∵∠DPB=∠CPA，∴△DPB∽△CPA

∴，即，

解得