题目内容
如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q（1）如图2，当
时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明．（2）如图3，当
时①EP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由．
②在旋转过程中，连接PQ，若AC=30cm，设EQ的长为xcm，△EPQ的面积为S（cm2），求 S关于x的函数关系，并求出x的取值范围．
【答案】分析：（1）连接BE，根据已知条件得到E是AC的中点，根据等腰直角三角形的性质可以证明DE=CE，∠PBE=∠C，根据等角的余角相等可以证明∠BEP=∠CEQ，即可得到全等三角形，从而证明结论；
（2）①作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，证明△MEP∽△NEQ，发现EP：EQ=ME-NE=AE：CE，继而得出结果；
②设EQ=x，根据上述结论，可用x表示出S，确定EQ的最大值，及最小值后，可得出x的取值范围．
解答：解：（1）连接BE，如图2：
证明：∵点E是AC的中点，△ABC是等腰直角三角形，
∴BE=EC=AE，∠PBE=∠C=45°，
∵∠PEB+∠BEQ=∠QEC+∠BEQ=90°，
∴∠PEB=∠QEC，
在△BEP和△CEQ中，
，
∴△BEP≌△CEQ（ASA），
∴EP=EQ．
（2）①作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，如图3：
∵∠A=∠C=45°，
∴EM=AM，EN=CN，
∵∠MEP+∠PEN=∠NEQ+∠PEN=90°，
∴∠MEP=∠NEQ，
又∵∠EMP=∠ENQ=90°，
∴△MEP∽△NEQ，
∴EP：EQ=ME：NE=ME：CN=AE：CE=1：2，
故EQ=2EP．
②设EQ=x，由①得，EP=
x，
∴S△EPQ=
EP×EQ=
x2，
当EQ=EF时，EQ取得最大，此时EQ=DE×tan30°=30×
=10
；
当EQ⊥BC时，EQ取得最小，此时EQ=EC×sin45°=20×
=10
；
即
，
综上可得：S=
x2（10
≤x≤10
）．
点评：本题考查了几何变换综合题，涉及了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，综合考察的知识点较多，对于此类综合性较强的题目，关键还是需要同学们有扎实的基本功，注意培养自己的融会贯通能力．
（2）①作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，证明△MEP∽△NEQ，发现EP：EQ=ME-NE=AE：CE，继而得出结果；
②设EQ=x，根据上述结论，可用x表示出S，确定EQ的最大值，及最小值后，可得出x的取值范围．
解答：解：（1）连接BE，如图2：
证明：∵点E是AC的中点，△ABC是等腰直角三角形，
∴BE=EC=AE，∠PBE=∠C=45°，
∵∠PEB+∠BEQ=∠QEC+∠BEQ=90°，
∴∠PEB=∠QEC，
在△BEP和△CEQ中，
，∴△BEP≌△CEQ（ASA），
∴EP=EQ．
（2）①作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，如图3：
∵∠A=∠C=45°，
∴EM=AM，EN=CN，
∵∠MEP+∠PEN=∠NEQ+∠PEN=90°，
∴∠MEP=∠NEQ，
又∵∠EMP=∠ENQ=90°，
∴△MEP∽△NEQ，
∴EP：EQ=ME：NE=ME：CN=AE：CE=1：2，
故EQ=2EP．
②设EQ=x，由①得，EP=
x，∴S△EPQ=
EP×EQ=x2，当EQ=EF时，EQ取得最大，此时EQ=DE×tan30°=30×
=10；当EQ⊥BC时，EQ取得最小，此时EQ=EC×sin45°=20×
=10；即
，综上可得：S=
x2（10≤x≤10）．点评：本题考查了几何变换综合题，涉及了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，综合考察的知识点较多，对于此类综合性较强的题目，关键还是需要同学们有扎实的基本功，注意培养自己的融会贯通能力．
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知线段AB=1，∠BAC=θ．
