题目内容

如图，已知△ABC中，∠BAC=36°，AB=AC=2，动点D在CB的延长线上运动，动点E在BC的延长线上运动，且保持∠DAE的值为108°．设DB=x，CE=y．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）用描点法画出（1）中函数的图象；
（3）已知直线y=x-3与（1）中函数图象的交点坐标是（a，b），求 $数学公式$ 的值；
（4）求BC的长．

解：（1）AB=AC，∠BAC=36°，∠DAE=108°．
∴∠ABC=∠ACB= $\text{[math]}$ =72°，∠DAB+∠CAE=72°．
∴∠D+∠DAB=72°，∠CAE+∠E=72°．
∴∠D=∠CAE，∠DAB=∠E．
∴△DAB∽△AEC．
∴ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$

（2）完成表格，描点绘图

x	1	2	4	5	8	10
y	4	2	1	0.8	0.5	0.4

（3）根据题意，得 $\text{[math]}$ ，
∴ab=4，a-b=3．
∴ $\text{[math]}$ ；

（4）作∠ABC的平分线BF交AC于点F．

∵∠ABC=∠ACB=72°，
∴∠ABF=∠FBC=36°．
∴∠BFC=72°．
∴AF=BF=BC．
在△CBF和△CAB中，
∵∠BCF=∠ACB，∠CBF=∠CBA，
∴△CBF∽△CAB．
∴ $\text{[math]}$ ．
∴BC²=AC•CF．
∴AF²=AC•CF．
∴ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据题意可知∠D=∠CAE，∠DAB=∠E，推出△DAB∽△AEC，即可求出y与x的之间的函数表达式；
（2）首先画出表格，在描点，连线即可；
（3）把交点坐标代入两个解析式，即可得出关于a和b方程组，求解即可；
（4）作∠ABC的平分线BF交AC于点F，结合题意，可推出AF=BF=BC，△CBF∽△CAB，即得BC²=AC•CF．推出AF²=AC•CF，求出AF后即可得BC的长度．
点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质、反比例函数的图象、反比例函数与一次函数交点的问题，解题的关键在于求出三角形相似和有关的函数图象．