Question

（2001•荆州）如图，已知三角形ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．
（1）求证：DE∥OC；
（2）若AD=2，DC=3，求tan∠ADE的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）要证DE∥OC，即证∠BOC=∠OED，由已知条件可以得出；
（2）由DE∥OC，可知，∠ADE=∠DCO，在直角△ODC中求tan∠DCO的值，关键求半径OD，由切割线定理可以求出半径的值．
解答：（1）证明：连接OD，则OD⊥AC，
∴∠ODC=∠OBC=90°，
∵OC=OC，OD=OB，
∴△ODC≌△OBC，
∴∠DOC=∠BOC；
∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∵∠DOB=∠ODE+∠OED，
∴∠BOC=∠OED，
∴DE∥OC；

（2）解：在△ABC中，
∵∠ABC=90°，
AC=AD+DC=5，
BC=DC=3，
∴AB=4，
∵AD是⊙O的切线，
∴AD²=AE•AB，
∴AE=1，
∴BE=3，
∴OE=OD=1.5，
在直角△ODC中，
tan∠DCO===，
∵DE∥OC，
∴∠ADE=∠DCO=1：2．
点评：求三角函数的值时，通常是根据定义，放到直角三角形当中去求．