Question

已知∠A是△ABC的一个内角，抛物线y=cos

A

2

x2-8x+16

2

的顶点在x轴上．
（1）求∠A的度数；
（2）若S_△ABC=4

2

，sinB=

1

3

，求AB边的长．

Answer 1

分析：（1）利用二次函数的定点坐标公式（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）、已知条件“抛物线y=cos

A

2

x2-8x+16

2

的顶点在x轴上”可以推知

4×cos A 2 ×16 2 -(-8)2

4×cos A 2

=0；然后根据∠A的取值范围可以求得∠A的度数；
（2）由直角三角形中三角函数的定义求得BC=3AC；然后由三角形的面积公式求得AC=

8 2

AB

；最后利用勾股定理可以求得AB的长度．

解答：解：（1）∵抛物线y=cos

A

2

x2-8x+16

2

的顶点在x轴上，
∴

4×cos A 2 ×16 2 -(-8)2

4×cos A 2

=0，
解得，cos

A

2

=

2

2

；
又∵∠A是△ABC的一个内角，
∴0＜∠A∠180°，∴0＜

A

2

＜90°，
∴

A

2

=45°，即∠A=90°；

（2）∵sinB=

1

3

，
∴

AC

BC

=

1

3

，
∴BC=3AC；
又∵S_△ABC=4

2

，
∴

1

2

AB•AC=4

2

，
∴AC=

8 2

AB

；
∵AB²+AC²=BC²（勾股定理），
∴AB=4

2

．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．x轴上的点的纵坐标均为零．