Question

如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y＝x²＋(2k－1)x＋k＋1的图象与x轴相交于O、A两点．

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；

(3)对于(2)中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB＝90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

　　分析：(1)将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，也就得出了抛物线的解析式．

　　(2)根据(1)得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可．

　　(3)根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标．求△POB的面积时，可先求出OB，OP的长度即可求出△BOP的面积．

　　解答：解：①∵函数的图象与x轴相交于O，

　　∴0＝k＋1，

　　∴k＝－1，

　　∴y＝x²－3x，

　　②假设存在点B，过点B做BD⊥x轴于点D，

　　∵△AOB的面积等于6，

　　∴AO·BD＝6，

　　当0＝x²－3x，

　　x(x－3)＝0，

　　解得：x＝0或3，

　　∴AO＝3，

　　∴BD＝4

　　即4＝x²－3x，

　　解得：x＝4或x＝－1(舍去)．

　　又∵顶点坐标为：(1.5，－2.25)．

　　∵2.25＜4，

　　∴x轴下方不存在B点，

　　∴点B的坐标为：(4，4)；

　　③∵点B的坐标为：(4，4)，

　　∴∠BOD＝45°，BO＝＝4，

　　当∠POB＝90°，

　　∴∠POD＝45°，

　　设P点横坐标为：－x，则纵坐标为：x²－3x，

　　即－x＝x²－3x，

　　解得x＝2或x＝0，

　　∴在抛物线上仅存在一点P(2，－2)．

　　∴OP＝＝2，

　　使∠POB＝90°，

　　∴△POB的面积为：PO·BO＝×4×2＝8．

　　点评：本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点、图象面积求法等知识．利用已知进行分类讨论得出符合要求点的坐标是解题关键．

提示：

考点：二次函数综合题．