Question

如图，已知二次函数（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点．

（1）写出A、B两点的坐标（坐标用m表示）；
（2）若二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上，求二次函数的解析式；
（3）设以AB为直径的⊙M与y轴交于C、D两点，求CD的长．

Answer 1

解：（1）∵，∴当y=0时，。
解得x₁=﹣m，x₂=3m。
∵m＞0，∴A、B两点的坐标分别是（﹣m，0），（3m，0）。
（2）∵A（﹣m，0），B（3m，0），m＞0，
∴，圆的半径为AB=2m。
∴OM=AM﹣OA=2m﹣m=m。
∴抛物线的顶点P的坐标为：（m，﹣2m）。
∵二次函数（m＞0）的顶点P的坐标为：（m，﹣4m²），
∴﹣2m=﹣4m²，解得m₁=，m₂=0（舍去）。
∴二次函数的解析式为，即。
（3）如图，连接CM，

在Rt△OCM中，
∵∠COM=90°，CM=2m=2×=1，OM=m=，
∴。
∴CD=2OC=。

（1）解关于x的一元二次方程，求出x的值，即可得到A、B两点的坐标。
（2）由二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上，A、B是抛物线与x轴的交点，根据抛物线的对称性及圆的半径处处相等可知PM是AB的垂直平分线，且MP=MA=MB=AB，得出点P的坐标为（m，﹣2m），又根据二次函数的顶点式为（m＞0），得出顶点P的坐标为：（m，﹣4m²），则﹣2m=﹣4m²，解方程求出m的值，再把m的值代入，即可求出二次函数的解析式。
（3）连接CM．根据（2）中的结论，先在Rt△OCM中，求出CM，OM的长度，利用勾股定理列式求出OC的长，再根据垂径定理得出弦CD的长等于OC的2倍。