Question

国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x（套）与每套的售价y₁（万元）之间满足关系式y₁=170-2x，月产量x（套）与生产总成本y₂（万元）存在如图所示的函数关系．
（1）求出y₂与x之间的函数关系式并直接写出x的取值范围；
（2）当月产量x（套）为多少时，利润为1900万元？
（3）求出月利润的范围．

Answer 1

分析：（1）设函数关系式为y₂=kx+b，把（30，1400）（40，1700）代入求解即可；
（2）根据利润=售价-成本列出关系式，进而解答即可．
（3）得出函数关系式，然后根据二次函数的最大值及最小值可确定答案．

解答：解：（1）设函数关系式为y₂=kx+b，把坐标（30，1400）（40，1700）代入，

30k+b=1400 40k+b=1700

解得：

k=30 b=500

∴函数关系式y₂=30x+500（25≤x≤40）；

（2）1900=x[170-2x-（30x+500）]，
解得：x=30或40．
∴x=30或40时，利润为1900万元；

（3）设月利润为w万元，则w=-2（x-35）²+1950，因为对称轴是x=35，
由对称性可知，当x=25时，w_最小=1750，
因为顶点坐标为（35，1950），
所以w_最大=1950，所以1750≤w≤1950．

点评：本题考查了函数关系式及其最大值的求解，同时还有自变量取值范围的求解，有一定难度，注意利用二次函数的最值进行函数范围的确定．