题目内容

23、BD是平行四边形ABCD的对角线，E、F是BD上的点，BE=DF．四边形AECF是平行四边形吗？请说明理由．
分析：可证明△ABE≌△CDF，得出AE=AF，从而再得出AF=CE，即可得出其为平行四边形．
解答：解：四边形AECF是平行四边形．
理由：∵AB=CD，∠ABD=∠BDC，BE=DF，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE=AF．
同理可得AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
点评：本题主要考查了平行四边形的判定及性质问题，能够熟练掌握．
练习册系列答案
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已知：如图1．四边形ABCD是菱形，AB=6，∠B=∠MAN=60°．绕顶点A逆时针旋转∠MAN，边AM与射线BC相交于点E（点E与点B不重合），边AN与射线CD相交于点F．
（1）当点E在线段BC上时，求证：BE=CF；
（2）设BE=x，△ADF的面积为y．当点E在线段BC上时，求y与x之间的函数关系式，写出函数的定义域；
（3）连接BD，如果以A、B、F、D为顶点的四边形是平行四边形，求线段BE的长．
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如图，在?ABCD中，BD为对角线，EF垂直平分BD分别交AD、BC的于点E、F，交BD于点O．
（1）试说明：BF=DE；
（2）试说明：△ABE≌△CDF；
（3）如果在?ABCD中，AB=5，AD=10，有两动点P、Q分别从B、D两点同时出发，沿△BAE和△DFC各边运动一周，即点P自B→A→E→B停止，点Q自D→F→C→D停止，点P运动的路程是m，点Q运动的路程是n，当四边形BPDQ是平行四边形时，求m与n满足的数量关系．（画出示意图）
如图，A、B是直线a上的两个定点，点C、D在直线b上运动（点C在点D的左侧），AB=CD=6cm，已知a∥b，连接AC、BD、BC，把△ABC沿BC折叠得△A1BC．
问题1：当A1、D两点重合时，则AC=
 
cm；
问题2：当A1、D两点不重合时，连接A1D，可探究发现A1D∥BC，
下面是小明的思考：
（1）将△ABC沿BC翻折，点A关于直线BC的对称点为A1，连接AA1交BC所在直线于点M，由轴对称的性质，得AM=A1 M，这一关系在变化过程中保持不变；
（2）因为四边形ABCD是平行四边形，设对角线的交点是O，易知AO=DO，这一关系在变化过程中也保持不变．
请你借助于小明的思考，说明AD1∥BC的理由；
问题3：当A1、D两点不重合时，若直线a、b间的距离为
5
cm，且以点A1、C、B、D为顶点的四边形是矩形，求AC的长．
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答案：（1）BD=CD……………1分

证△AEF≌△DEC

∴AF=CD

∵AF=BD

∴BD=CD……………5分

(2) 当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形………6分

∵AF//BD, AF=BD

∴四边形AFBD是平行四边形

   ∵AB=AC，BD=CD

∴∠ADB=90°

∴□AFBD是矩形………10分
AC、BD是平行四边形ABCD两条对角线，现从以下四个关系式①AB=BC，②AC=BD，③AC⊥BD，④AB⊥BC中，任取一个作为条件，即可推出平行四边形ABCD是菱形的概率为（    ）。

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