题目内容
如图1所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1．
（1）请你探究：
，
是否都成立？
（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问
一定成立吗？并证明你的判断．
（3）如图2所示Rt△ABC中，∠ACB=90?，AC=8，AB=
，E为AB上一点且AE=5，CE交其内角角平分线AD于F．试求
的值．
（1）成立 （2）成立 （3）
解析试题分析：（1）两个等式都成立．理由如下：
∵△ABC为等边三角形，AD为角平分线，
∴AD垂直平分BC，∠CAD=∠BAD=30°，AB=AC，
∴DB=CD，
∴
=
；
∵∠C1AB1=60°，
∴∠B1=30°，
∴AB1=2AC1，
又∵∠DAB1=30°，
∴DA=DB1，
而DA=2DC1，
∴DB1=2DC1，
∴
=
；
（2）结论仍然成立，理由如下：
如右图所示，△ABC为任意三角形，过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点，
∴∠E=∠CAD=∠BAD，
∴BE=AB，
∵BE∥AC，
∴△EBD∽△ACD，
∴
=
而BE=AB，
∴
=
；
（3）如图，连DE，
∵AD为△ABC的内角角平分线
∴==
=
，
=
=
，
又∵
=
=
，
∴
=，
∴DE∥AC，
∴△DEF∽△ACF，
∴
=
=．
考点：相似三角形的判定与性质；三角形的面积；角平分线的性质；等边三角形的性质；勾股定理．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线被其它两边所截，所截得的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边的比相等．也考查了等边三角形的性质、含30°的直角三角形三边的关系以及角平分线的性质．
练习册系列答案
相关题目
