Question

【题目】如图，抛物线的顶点坐标为，图象与轴交于点，与轴交于、两点．

求抛物线的解析式；

设抛物线对称轴与直线交于点，连接、，求的面积；

点为直线上的任意一点，过点作轴的垂线与抛物线交于点，问是否存在点使为直角三角形？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) ;(2)2;(3)见解析.

【解析】

（1）可设抛物线解析式为顶点式，把C点坐标代入可求得抛物线解析式；
（2）由抛物线解析式可求得A、B坐标，利用待定系数法可求得直线BC解析式，利用对称轴可求得D点坐标，则可求得AD2、AC2和CD2，利用勾股定理的逆定理可判定△ACD为直角三角形，则可求得其面积；
（3）根据题意可分∠DFE=90°和∠EDF=90°两种情况，当∠DFE=90°时，可知DF∥x轴，则可求得E点纵坐标，代入抛物线解析式可求得E点坐标；当∠EDF=90°时，可求得直线AD解析式，联立直线AC和抛物线解析式可求得点E的横坐标，代入直线BC可求得点E的坐标．

解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴可设抛物线解析式为，
把代入可得，解得，
∴抛物线解析式为；

在中，令可得，解得或，
∴，，
设直线解析式为，把代入得：，解得，
∴直线解析式为，
由可知抛物线的对称轴为，此时，
∴，
∴，，，
∵，
∴是以为斜边的直角三角形，
∴；

由题意知轴，则，
∴为直角三角形，分和两种情况，
①当时，即轴，则、的纵坐标相同，
∴点纵坐标为，
∵点在抛物线上，
∴，解得，即点的横坐标为，
∵点在直线上，
∴当时，，当时，，
∴点坐标为或；
②当时，
∵，，
∴直线解析式为，
∵直线解析式为，
∴，
∴直线与抛物线的交点即为点，
联立直线与抛物线解析式有，解得或，
当时，，当时，，
∴点坐标为或，
综上可知存在满足条件的点，其坐标为或或或．