Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠ACD=30°，则BD：AC=

3：2

．

Answer 1

分析：根据直角三角形的两锐角互余，得到∠A和∠B互余，又CD垂直于AB，得到∠ADC为直角，同理得到∠A与∠ACD互余，根据等角的余角相等可得∠ACD等于∠B，由∠ACD的度数求出∠B的度数，然后设AD为x，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可得出AC=2x，再利用勾股定理表示出CD，在直角三角形BCD中，由锐角三角函数定义，根据tanB及CD表示出BD，即可求出BD与AC的比值．

解答：解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
又∵∠ACD=30°，
∴∠A=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠B=30°，
在Rt△ACD中，∠ACD=30°，
设AD=x，则有AC=2x，
根据勾股定理得：CD=

AC2-AD2

=

3

x，
在Rt△BCD中，tanB=tan30°=

CD

BD

，
∴BD=

CD

tan30°

=3x，
则BD：AC=3x：2x=3：2．

点评：此题考查了勾股定理，含30°直角三角的性质，锐角三角函数，以及特殊角的三角函数值，勾股定理为：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．