Question

如图，在△中，是边上的一点，是的中点，过作的平行线交的延长线于点，且，连结．

（1）求证：；
（2）如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论。

Answer 1

见解析

证明：（1），
                                         1分
是的中点，
．                                              1分
又∵∠=∠，
∴△F≌△                                       2分
，                                              1分
     
                                             1分
证明：（2）四边形是矩形                                      2分
，是的中点
 ，
                                           1分
，
四边形是平行四边形                              2分
又 
四边形是矩形．                                  1分
（1）先由AF∥BC，利用平行线的性质可证∠AFE=∠DCE，而E是AD中点，那么AE=DE，∠AEF=∠DEC，利用AAS可证△AEF≌△DEC，那么有AF=DC，又AF=BD，从而有BD=CD；
（2）四边形AFBD是矩形．由于AF平行等于BD，易得四边形AFBD是平行四边形，又AB=AC，BD=CD，利用等腰三角形三线合一定理，可知AD⊥BC，即∠ADB=90°，那么可证四边形AFBD是矩形．