Question

四边形OABC是等腰梯形，OA∥BC，在建立如图所示的平面直角坐标系中，A（4，0），B（3，2），点M从O点出发沿折线段OA-AB以每秒2个单位长的速度向终点B运动；同时，点N从B点出发沿折线段BC-CO以每秒1个单位长的速度向终点O运动、设运动时间为t秒．
（1）当点M运动到A点时，N点距原点O的距离是多少？当点M运动到AB上（不含A点）时，连接MN，t为何值时能使四边形BCNM为梯形？
（2）0≤t＜2时，过点N作NP⊥x轴于P点，连接AC交NP于Q，连接MQ
①求△AMQ的面积S与时间t的函数关系式（不必写出t的取值范围）
②当t取何值时，△AMQ的面积最大？最大值为多少？
③当△AMQ的面积达到最大时，其是否为等腰三角形？请说明理由．

Answer 1

解：（1）四边形OABC是等腰梯形，则C（1，2），点M运动到A点时，N运动到C点，ON=OC=；
若四边形BCNM为梯形，则NC=BM，t-2=-2（t-2），解得：t=．

（2）①由于点M以每秒2个单位长的速度向终点B运动，点N以每秒1个单位长的速度向终点O运动，
则点Q横坐标为3-t，纵坐标由求得：纵坐标为（t+1），
s=×MA×PQ=×（4-2t）×（t+1）=-t²+t+．
②当t=时，最大值是．
③是，t=，PM=3-t-2t=，PA=4-（3-t）=，
则PM=PA，故△AMQ为等腰三角形．
分析：（1）经分析，点M运动到A点时，N运动到C点，求得OC的长即可．若四边形BCNM为梯形在，则NC=BM，列出关于t的方程求解即可．
（2）△AMQ的面积S=×MA×PQ，应先求出Q点坐标，Q点横坐标为3-t，纵坐标可由求得，根据列出的函数关系式，求得最大值．
点评：本题考查了通过动点运动列出函数关系式，并求得最值，综合性强．