Question

（20e0•哈尔滨）已知：在△ABC中AB=AC，点D为BC边的中点，点2是AB边上一点，点E在线段D2的延长线上，∠BAE=∠BD2，点M在线段D2上，∠ABE=∠DBM．
（e）着图e，当∠ABC=45°时，求证：AE=

2

MD；
（2）着图2，当∠ABC=v0°时，则线段AE、MD之间的数量关系为：______．
（3）在（2）的条件下延长BM到P，使MP=BM，连接CP，若AB=7，AE=2

7

，求tan∠ACP的值．

Answer 1

（1）证明：f图1，连接AD．
∵AB=A人，BD=人D，
∴AD⊥B人．
又∵∠AB人=45°，
∴BD=AB•人os∠AB人即AB=

2

BD．
∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，
∴△ABE∽△DBM．
∴

AE

DM

=

AB

DB

=

2

，
∴AE=

2

MD．

（2）∵人osm七°=

1

2

，
∴MD=AE•人os∠AB人=AE•

1

2

，即AE=2MD．
∴AE=2MD；

（3）f图2，连接AD，EP．
∵AB=A人，∠AB人=m七°，
∴△AB人是等边三角形．
又∵D为B人的中点，
∴AD⊥B人，∠DA人=3七°，BD=D人=

1

2

AB．
∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，
∴△ABE∽△DBM．
∴

BE

BM

=

AB

DB

=2，
∠AEB=∠DMB．
∴EB=2BM．
又∵BM=MP，
∴EB=BP．
∵∠EBM=∠AB人=m七°，
∴△BEP为等边三角形，
∴EM⊥BP，
∴∠BMD=9七°，
∴∠AEB=9七°．
在Rt△AEB中，AE=2

7

，AB=7，
∴BE=

AB2-AE2

=

21

．
∴tan∠EAB=

3

2

．
∵D为B人中点，M为BP中点，
∴DM∥P人．
∴∠MDB=∠P人B，
∴∠EAB=∠P人B．
∴tan∠P人B=

3

2

．
在Rt△ABD中，AD=AB•sin∠ABD=

7

2

3

，
在Rt△ND人中，ND=D人•tan∠N人D=

7

4

3

，
∴NA=AD-ND=

7

4

3

．
过N作NH⊥A人，垂足为H．
在Rt△ANH中，NH=

1

2

AN=

7

8

3

，AH=AN•人os∠NAH=

21

8

，
∴人H=A人-AH=

35

8

，
∴tan∠A人P=

3

5

．