题目内容
如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，AB为⊙O的直径．动点P从A点开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s 的速度运动，P、Q 两点同时出发，当其中一点到
达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），求：
（1）t分别为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？
（2）t分别为何值时，直线PQ与⊙O相切？
达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），求：（1）t分别为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？
（2）t分别为何值时，直线PQ与⊙O相切？
分析：（1）只要PQ=CD，PD≠QC，四边形PQCD为等腰梯形，如图，过P、D分别作BC的垂线，交BC于E、F点，则EF=PD，QE=FC=2，进而求出即可．
（2）因为点P、Q分别在线段AD和BC上的运动，可以统一到直线PQ的运动中，要探求时间t对直线PQ与⊙O位置关系的影响，可先求出t为何值时，直线PQ与⊙O相切这一整个运动过程中特殊点，再结合PQ的初始与终了位置一起加以考虑，设运动t秒时，直线PQ与⊙O相切于点G，如图因为，AB=8，AP=t，BQ=26-3t，所以，PQ=26-2t，因而，过p做PH⊥BC，得HQ=26-4t，于是由勾股定理，可的关于t的一元二次方程，则t可求出．
（2）因为点P、Q分别在线段AD和BC上的运动，可以统一到直线PQ的运动中，要探求时间t对直线PQ与⊙O位置关系的影响，可先求出t为何值时，直线PQ与⊙O相切这一整个运动过程中特殊点，再结合PQ的初始与终了位置一起加以考虑，设运动t秒时，直线PQ与⊙O相切于点G，如图因为，AB=8，AP=t，BQ=26-3t，所以，PQ=26-2t，因而，过p做PH⊥BC，得HQ=26-4t，于是由勾股定理，可的关于t的一元二次方程，则t可求出．
解答：
解：（1）如图1，
由题意得，只要PQ=CD，PD≠QC，四边形PQCD为等腰梯形，
过P、D分别作BC的垂线交BC于E、F两点，
则由等腰梯形的性质可知，EF=PD，QE=FC=2，
所以3t-（24-t）=4，
解得t=7秒，
所以当t=7秒时，四边形PQCD为等腰梯形．
（2）设运动t秒时，直线PQ与⊙O相切于点G，如图2，过P作PH⊥BC于点H，
则PH=AB=8，BH=AP，
可得HQ=26-3t-t=26-4t，
由切线长定理得，PQ=AP+BQ=t+26-3t=26-2t
由勾股定理得：PQ2=PH2+HQ2，即 （26-2t）2=82+（26-4t）2
化简整理得 3t2-26t+16=0，
解得t1=
或 t2=8，
所以，当t1=
或 t2=8时直线PQ与⊙O相切．
解：（1）如图1，由题意得，只要PQ=CD，PD≠QC，四边形PQCD为等腰梯形，
过P、D分别作BC的垂线交BC于E、F两点，
则由等腰梯形的性质可知，EF=PD，QE=FC=2，
所以3t-（24-t）=4，
解得t=7秒，
所以当t=7秒时，四边形PQCD为等腰梯形．
（2）设运动t秒时，直线PQ与⊙O相切于点G，如图2，过P作PH⊥BC于点H，
则PH=AB=8，BH=AP，
可得HQ=26-3t-t=26-4t，
由切线长定理得，PQ=AP+BQ=t+26-3t=26-2t
由勾股定理得：PQ2=PH2+HQ2，即 （26-2t）2=82+（26-4t）2
化简整理得 3t2-26t+16=0，
解得t1=
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所以，当t1=
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点评：此题主要考查了直线与圆的位置关系以及等腰梯形的性质和勾股定理的应用，利用已知图形构造直角三角形进而利用勾股定理得出是解题关键．
练习册系列答案
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