题目内容
【题目】如图，已知直线l1∥l2，且l3与l1，l2分别交于A，B两点，l4与l1，l2相交于C，D两点，点P在直线AB上．
（1）【探究1】如图1，当点P在A，B两点间滑动时，试探究∠1，∠2，∠3之间的关系是否发生变化？并说明理由；
（2）【应用】如图2，A点在B处北偏东32°方向，A点在C处的北偏西56°方向，应用探究1的结论求出∠BAC的度数．
（3）【探究2】如果点P在A，B两点外侧运动时，试探究∠ACP，∠BDP，∠CPD之间的关系，并说明理由．
【答案】见解析
【解析】
试题分析：（1）过点P作PQ∥AC，交CD于点Q，由PQ∥l1∥l2结合“两直线平行，内错角相等”找出“∠1=∠CPQ，∠3=∠DPQ”，再通过角的计算即可得出结论；
（2）分别在B点和A点处画方位图，结合（1）的结论即可算出结果；
（3）分点P的位置不同来考虑：①当点P在A点上方时，过点P作PQ∥AC，交CD于点Q，由PQ∥l1∥l2结合“两直线平行，内错角相等”找出“∠QPC=∠ACP，∠QPD=∠BDP”，再通过角的计算即可得出结论；②当点P在B点下方时，过点P作PQ∥AC，交CD于点Q，利用①的方法可得出结论．综合①②即可得出结论．
解：（1）当点P在A、B两点间滑动时，∠2=∠1+∠3保持不变．理由如下：
过点P作PQ∥AC，交CD于点Q，如图1所示．
∵PQ∥AC，
∴∠1=∠CPQ，
又∵PQ∥AC，BD∥AC，
∴PQ∥BD，
∴∠3=∠DPQ，
∴∠1+∠3=∠CPQ+∠DPQ，
即∠1+∠3=∠2．
（2）分别在B点和A点处画方位图，如图2所示．
由（1）知：∠2=∠1+∠3
∴∠BAC=32°+56°=88°．
（3）①当点P在A点上方时，过点P作PQ∥AC，交CD于点Q，如图3所示．
∵PQ∥AC，
∴∠QPC=∠ACP．
又∵PQ∥AC，BD∥AC，
∴PQ∥BD，
∴∠QPD=∠BDP．
又∵∠CPD=∠QPD﹣∠QPC，
∴∠CPD=∠BDP﹣∠ACP．
②当点P在B点下方时，过点P作PQ∥AC，交CD于点Q，如图3所示．
同理可得：∠CPD=∠ACP﹣∠BDP．
综上：∠CPD=|∠ACP﹣∠BDP|．
