Question

如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是的中点，OM交AC于点D，∠BOE=60°，cosC=，BC=2．
（1）求∠A的度数；
（2）求证：BC是⊙O的切线；
（3）求MD的长度．

Answer 1

（1）解：∵∠BOE=60°，
∴∠A=∠BOE=30°．

（2）证明：在△ABC中，∵cosC=，
∴∠C=60°．
又∵∠A=30°，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC．
∴BC是⊙O的切线．

（3）解：∵点M是的中点，
∴OM⊥AE．
在Rt△ABC中，∵BC=2，
∴AB=BC•tan60°=2×=6．
∴OA==3，
∴OD=OA=，
∴MD=．
分析：（1）根据三角函数的知识即可得出∠A的度数．
（2）要证BC是⊙O的切线，只要证明AB⊥BC即可．
（3）根据切线的性质，运用三角函数的知识求出MD的长度．
点评：本题综合考查了三角函数的知识、切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．