Question

如图，⊙O为四边形ABCD的外接圆，圆心O在AD上，OC∥AB．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若AC=8，

AC

：

CD

=2：1，试求⊙O的半径；
（3）若点B为

AC

的中点，试判断四边形ABCO的形状．

Answer 1

分析：（1）根据OC∥AB，可以得到∠OCA=∠CAB，在△OAC中，根据等角对等边，即可证明∠OAC=∠OCA，即可证得AC平分∠DAB；
（2）根据

AC

：

CD

=2：1，即可求得∠CAD的度数，在直角△ACD中，利用三角函数即可求得直径AD，进而求得半径；
（3）首先证明四边形是平行四边形，根据邻边相等，即可证得四边形是菱形．

解答：（1）证明：∵OC∥AB，
∴∠BAC=∠ACO，
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CAO．
∴∠CAO=∠BAC．
即：AC平分∠DAB．（2分）

（2）解：AC=8，弧AC与CD之比为2：1，
∴∠DAC=30°，
又∵AD是圆的直径，
∴∠ACD=90°
∴CD=AC•tan∠DAC=

8 3

3

，
∵∠COD=2∠DAC=60°，OD=OC，
∴△COD是等边三角形．
∴圆O的半径=CD=

8 3

3

（2分）

（3）解：∵点B为弧AC的中点，
∴

AB

=

BC

，
∴∠BAC=∠BCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠OAC=∠BAC，
∴∠BAC=∠BCA=∠OAC=∠OCA．
∴OA∥BC．又OC∥AB，
∴四边形ABCO是平行四边形．
∵AO=CO，
∴四边形ABCO为菱形．（3分）

点评：本题主要考查了圆的有关计算，根据弧的关系可以得到圆周角之间的关系，并且考查了菱形的判定定理．