Question

矩形ABCD，CG⊥BD于G，DE平分∠CDB交CB于点E，交CG于点H，EF⊥BD于F．
（1）求证：四边形CEFH是菱形；
（2）若矩形ABCD是正方形，且GH=2，求BE的长．

Answer 1

考点：菱形的判定,矩形的性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）首先证明四边形CHFE是平行四边形，然后再根据DE平分∠CDB可得CE=EF，进而得到四边形CEFH是菱形；
（2）根据菱形的性质可得CB∥NF，进而可证GN=GF=2，根据勾股定理可得NF=2

2

，由菱形的性质可得EF=NF，再次利用勾股定理计算出EB的长即可．

解答：（1）证明：∵CG⊥BD，EF⊥BD，
∴∠CGF=∠EFB=90°，
∴∠1+∠3=90°，∠1+∠4=90°，CG∥EF，
∵DE平分∠CDB，
∴∠1=∠2，CE=EF，
∴∠3=∠4，
∵∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
∴CH=CE，
∴CH=EF，
∴四边形CHFE是平行四边形，
∵CE=EF，
∴四边形CEFH是菱形；

（2）解：∵矩形ABCD是正方形，
∴∠DBC=∠BCA=45°，
由（1）可得四边形CEFH是菱形，
∴BC∥FH，
∴∠CBF=∠HFG=45°，∠GHF=∠BCA=45°，
∵GH=2，
∴GF=2，
∴HF=2

2

，
∵四边形CEFH是菱形，
∴EF=FH=2

2

，
∴EB=4．

点评：此题主要考查了菱形的判定，正方形的性质，以及勾股定理的应用，关键是正确证明四边形CHFE是平行四边形．