题目内容

如图，已知：AB为⊙O的直径，AB=6 $数学公式$ ，弧AC= $数学公式$ 弧AB，过B点的切线与AC的延长线交于点D．
（1）求OD的长；
（2）若P是AD上的任意一点（不与A、D重合），设PD=x，求△POD的面积y与x的函数关系式，并指出x的取值范围．

解：（1）连接OC．
∵弧AC= $\text{[math]}$ 弧AB，
∴∠AOC= $\text{[math]}$ ∠AOB=60°，
又OA=OC，
∴△ACO为等边三角形，
∴∠A=60°，
又BD为半圆的切线，
∴BD⊥AB，即∠ABD=90°，
又AB=6 $\text{[math]}$ ，
在Rt△ABD中，tanA= $\text{[math]}$ ，
∴BD=ABtan60°=6 $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =18，
∴∠ADB=30°，
∴AD=2AB=12 $\text{[math]}$ ，
又半径OB= $\text{[math]}$ AB=3 $\text{[math]}$ ，
在Rt△OBD中，根据勾股定理得：
OD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ ；

（2）过O作OE⊥AC，交AC于点E．
∵△ACO为等边三角形，
∴AE=CE= $\text{[math]}$ AC= $\text{[math]}$ ，又AO=3 $\text{[math]}$ ，
在Rt△AEO中，根据勾股定理得：OE= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
则三角形OPD的面积y= $\text{[math]}$ PD•OE= $\text{[math]}$ x• $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ x，且0＜x＜12 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）连接OC，由弧AC= $\text{[math]}$ 弧AB，根据等弧对等角得到∠AOC为60°，又OC=OA，则三角形AOC为等边三角形，得到∠A为60°，在直角三角形ABD中，由锐角三角函数的定义得到tanA等于DB比AB，由tanA和AB的值，求出DB的值，由根据半径OB为直径AB的一半求出OB的长，在直角三角形OBD中，利用勾股定理求出OD的长即可；
（2）过O作OE垂直于AC，即为三角形OPD中PD边上的高，根据等边三角形的性质得到E为AC中点，由AC的长求出AE的长，在直角三角形AEO中，由OA和AE的长，利用勾股定理求出OE的长，利用PD乘以OE的一半即可表示出三角形OPD的面积，得到y与x的关系式，由三角形ABD为直角三角形，且∠ADB为30°，由AB的长，根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AD的长，即得到x的范围．
点评：此题考查了等边三角形的判定与性质，切线的性质，勾股定理，圆周角定理，以及锐角三角函数定义，此类题的综合性比较强，要求学生掌握知识全面，借助图形，多次利用转化的思想来求解，培养了学生分析问题，解决问题的能力．