Question

【题目】如图，正方形OABC的顶点O在坐标原点，且OA边和AB边所在直线的解析式分别为：和．

（1）求正方形OABC的边长；

（2）现有动点P、Q分别从C、A同时出发，点P沿线段CB向终点B运动，速度为每秒1个单位，点Q沿折线A→O→C向终点C运动，速度为每秒k个单位，设运动时间为2秒．当k为何值时，将△CPQ沿它的一边翻折，使得翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形？

（3）若正方形以每秒个单位的速度沿射线AO下滑，直至顶点C落在x轴上时停止下滑．设正方形在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）k=2或k=4；（3）．

【解析】

试题分析：（1）联立方程组求得点A的坐标即可得到结果；

（2）有两种情况：①Q在OA上，则CQ=PQ时能构成菱形，根据题意列出2k=4即可求得；②Q点在OC上，则PC=QC时才能构成菱形，根据题意列出2k=8即可求得；

（3）①当点A运动到点O时，t=3，当0＜t≤3时，设O′C′交x轴于点D，根据三角函数的定义tan∠DOO′=，即，求得DO′=t即可得到S=DO′OO′=tt=t2；②当点C运动到x轴上时，t=（5×）÷=4，当3＜t≤4时，设A′B′交x轴于点E由于A′O=t-5，于是得到A′E=A′O=即可得到S=（A′E+O′D）A′O′=（+t）5=．

试题解析：（1）联立，解得，

∴A（4，3），

∴OA=，

∴正方形OABC的边长为5；

（2）有两种情况：

①Q在OA上，则CQ=PQ时能构成菱形，

∵PC=2，

∴AQ=4时才能构成CQ=PQ的等腰三角形，

∴2k=4，解得k=2，

②Q点在OC上，∵∠PCQ是直角，

∴只有沿这PQ边对折才能构成菱形，且PC=QC，

∵PC=2，

∴QC=2，

∴2k=OA+OC-QC=5+5-2=8，

∴k=4，

∴当k=2或k=4时将△CPQ沿它的一边翻折，使得翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形；

（3）①当点A运动到点O时，t=3，

当0＜t≤3时，设O′C′交x轴于点D，

则tan∠DOO′=，即，

∴DO′=t，

∴S=DO′OO′=tt=t2，

②当点C运动到x轴上时，t=（5×）÷=4，

当3＜t≤4时，设A′B′交x轴于点E，

∵A′O=t-5，

∴A′E=A′O=，

∴S=（A′E+O′D）A′O′=（A′E+O′D）A′O′=（+t）5=．