Question

如图，AB为⊙O的直径，点C在上，点D在AB的延长线上于，且AC=CD，已知∠D=30°．
（1）判断CD与⊙O的位置关系，请说明理由．
（2）若弦CF⊥AB，垂足为E，且CF=，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OC，根据题意可求得∠A=30°，则∠OCA=30°，则∠OCD=90°，从而证得CD与⊙O相切；
（2）可求得CE，再在Rt△OCE中，利用三角函数求出OC，OE，即可得出阴影部分的面积．
解答：解：（1）CD与⊙O相切（1分）
理由：连接OC，（2分）
∵AC=DC，∴∠A=∠D=30°
∵AO=CO，∴∠OCA=∠A=30°．（3分）
∠COD=60°，∴∠D+∠COD=90°，∴∠OCD=90°
∴OC⊥CD，∴CD与⊙O相切（4分）

（2）∵CF⊥AB，∴CE=CF=（5分）
在Rt△OCE中，sin60°=，OC=2
OE=1，-==（7分）
点评：本题是一道综合性题目，考查了切线的判定和性质以及三角形面积、扇形面积的计算，特殊角的三角函数等知识点，要熟练掌握．