Question

在△ABC中
（1）如图①，∠A=60°，∠B、∠C的平分线交于点P，求∠BPC的度数．
（2）如图②，∠A=60°，∠B、∠C的三等分线交于点P（∠1=

1

3

∠ABC，∠2=

1

3

∠ACB），求∠BPC的度数．
（3）如图③，∠A=x°，∠B、∠C的n等分线（n≥3）交于点P，求∠BPC的度数．

Answer 1

分析：（1）首先根据∠B、∠C的平分线交于点P与△ABC的内角和为180°，求得∠PBC+∠PCB的和，又由△PBC的内角和为180°，求得∠BPC的度数；
（2）首先根据∠B、∠C的三等分线分线交于点P，可得：

3

2

∠PBC=∠ABC，

3

2

∠PCB=∠ACB，又由△ABC的内角和为180°，求得∠PBC+∠PCB的和，又由△PBC的内角和为180°，求得∠BPC的度数；
（3）首先根据∠B、∠C的三等分线分线交于点P，可得：

n

n-1

∠PBC=∠ABC，

n

n-1

∠PCB=∠ACB，
又由△ABC的内角和为180°，求得∠PBC+∠PCB的和，又由△PBC的内角和为180°，求得∠BPC的度数．

解答：解：（1）∵∠B、∠C的平分线交于点P，
∴2∠PBC=∠ABC，2∠PCB=∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A+2∠PBC+2∠PCB=180°，
∵∠A=60°，
∴∠PBC+∠PCB=60°，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=120°；

（2）∵∠1=

1

3

∠ABC，∠2=

1

3

∠ACB，
∴

3

2

∠PBC=∠ABC，

3

2

∠PCB=∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A+

3

2

∠PBC+

3

2

∠PCB=180°，
∵∠A=60°，
∴∠PBC+∠PCB=80°，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=100°；

（3）∵∠B、∠C的n等分线（n≥3）交于点P，
∴

n

n-1

∠PBC=∠ABC，

n

n-1

∠PCB=∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A+

n

n-1

∠PBC+

n

n-1

∠PCB=180°，
∵∠A=x°，
∴∠PBC+∠PCB=

n-1

n

•180°-

n-1

n

•x°，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180o-

n-1

n

(180o-xo)=

1

n

180o+

n-1

n

•xo．

点评：此题考查了三角形内角和定理与角平分线的性质．解此题的关键是要注意数形结合思想的应用．