Question

已知关于x的一元二次方程（a+c）x²+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．

（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

Answer 1

解：（1）△ABC是等腰三角形；

理由：∵x=﹣1是方程的根，

∴（a+c）×（﹣1）²﹣2b+（a﹣c）=0，

∴a+c﹣2b+a﹣c=0，

∴a﹣b=0，

∴a=b，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）∵方程有两个相等的实数根，

∴（2b）²﹣4（a+c）（a﹣c）=0，

∴4b²﹣4a²+4c²=0，

∴a²=b²+c²，

∴△ABC是直角三角形；

（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x²+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：

2ax²+2ax=0，

∴x²+x=0，

解得：x₁=0，x₂=﹣1．