题目内容

如图，直线x=1，x=2，x=3，…，x=n与x轴及抛物线y₁=x²和y₂=2x²分别交于A₁，B₁，C₁；A₂，B₂，C₂；A₃，B₃，C₃；…；A_n，B_n，C_n．
（1）求B₁C₁的值．
（2）求 $数学公式$ 及 $数学公式$ 的值．
（3）猜想 $数学公式$ 的值．（直接写出答案）

解：（1）∵直线x=1，x=2，x=3，…，x=n与x轴及抛物线y₁=x²和y₂=2x²分别交于A₁，B₁，C₁；A₂，B₂，C₂；A₃，B₃，C₃；…；A_n，B_n，C_n．
∴x=1，A₁B₁=y₁=x²=1，A₁C₁=y₂=2x²=2，
∴B₁C₁=2-1=1；

（2）∵B₁C₁=1；A₁B₁=1，
∴ $\text{[math]}$ =1，
A₂B₂=y₂=x²=4，A₂C₂=y₂=2x²=8，
∴C₂B₂=4，
∴ $\text{[math]}$ =1．

（3）猜想： $\text{[math]}$ =1．
分析：（1）根据直线x=1，x=2，x=3，…，x=n与x轴及抛物线y₁=x²和y₂=2x²分别交于A₁，B₁，C₁；A₂，B₂，C₂；A₃，B₃，C₃；…；A_n，B_n，C_n．直接代入解析式求出线段长度即可；
（2）利用（1）中方法求出即可；
（3）利用（1）（2）中结论，即可得出 $\text{[math]}$ 的值．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，根据已知求出A₂B₂=y₂=x²=4，A₂C₂=y₂=2x²=8是解决问题的关键．