题目内容

已知二次函数y=x2+px+q图象的顶点M为直线y=
12
x与y=-x+m的交点，
（1）用含m的代数式来表示点M的坐标；
（2）若二次函数y=x2+px+q图象经过A（0，3），求二次函数y=x2+px+q的解析式；
（3）在（2）中的二次函数y=x2+px+q的图象与x轴有两个交点，设与x轴的左交点为B，点P为抛物线对称轴上一点，若△PAB为直角三角形，请求出所有满足条件的点P的坐标．
分析：（1）已知直线y=
1
2
x和y=-x+m，列出方程求出x，y的等量关系式即可求出点M的坐标．
（2）将A点坐标代入y=(x-
2
3
m)2+
1
3
m，求出m的值即可得出解析式；
（3）利用①当∠BAP=90°时，②当∠ABP=90°时，③当∠APB=90°时，分别解出P点坐标即可．
解答：解：（1）由
y=
1
2
x
y=-x+m
，
得 
x=
2
3
m
y=
1
3
m
，
即交点M坐标为（
2
3
m，
1
3
m）；

（2）∵此时二次函数为y=(x-
2
3
m)2+
1
3
m过点A（0，3），
∴3=(0-
2
3
m)2+
1
3
m，
得m1=-3，m2=
9
4
，
∴y=（x+2）2-1或者y=(x-
3
2
)2+
3
4
；

（3）∵二次函数y=(x-
3
2
)2+
3
4
与x轴没有交点，
又∵二次函数y=x2+px+q的图象与x轴有两个交点时，
∴二次函数为y=x2+4x+3，与x轴的左交点B为（-3，0），对称轴为直线x=-2
①当∠BAP=90°时，如图1，作P1D⊥y轴于点D，
设P点坐标为（-2，y），则P1A2+AB2=BP12，可得P1D2+AD 2+AB2=P1E2+BE 2．
即22+（y-3）2+（3
2
）2=y2+12．
解得：y=5，
可得P1坐标为（-2，5），
②当∠ABP=90°时，如图2，则BP2 2+AB2=AP2 2，设P点坐标为（-2，a），
即a2+1+（3
2
）2=（3-a）2+（-2）2
解得：a=-1，
可得P2坐标为（-2，-1），
③当∠APB=90°时，同理可得P1A2+BP12=AB2，设P点坐标为（-2，b），
则（3
2
）2=（b-3）2+4+1+b2，
解得：b=
3
2
±
17
2
，
可得P在以AB为直径的圆与直线x=-2的交点上，有两个：
P3（-2，
3
2
+
17
2
），P4（-2，
3
2
-
17
2
），
综上得，当P为（-2，5），（-2，-1），（-2，
3
2
+
17
2
）或（-2，
3
2
-
17
2
）时，△PAB为直角三角形．
点评：本题考查的是二次函数的综合运用以及直角三角形的性质等知识，利用分类讨论得出P点坐标是解题关键．
练习册系列答案
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22、已知二次函数y=x2+mx+m-5，
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已知二次函数y=x2+（2a+1）x+a2-1的最小值为0，则a的值是（　　）
A、
3
4
B、-
3
4
C、
5
4
D、-
5
4
精英家教网已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为（　　）
A、x1=1，x2=3B、x1=0，x2=3C、x1=-1，x2=1D、x1=-1，x2=3
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