Question

如图，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE．
（1）求证：∠AEC=∠C；
（2）求证：BD=2AC；
（3）若AE=6.5，AD=5，那么△ABE的周长是多少？

Answer 1

（1）证明：∵AD⊥AB，
∴△ABD为直角三角形．
又∵点E是BD的中点，
∴AE=BD．
又∵BE=BD，
∴AE=BE，∴∠B=∠BAE．
又∵∠AEC=∠B+∠BAE，
∴∠AEC=∠B+∠B=2∠B．
又∵∠C=2∠B，
∴∠AEC=∠C．

（2）证明：由（1）可得AE=AC，
又∵AE=BD，
∴BD=AC，
∴BD=2AC．

（3）解：在Rt△ABD中，AD=5，BD=2AE=2×6.5=13
∴
∴△ABE的周长=AB+BE+AE=12+6.5+6.5=25．
分析：（1）在Rt△ADB中，点E是BD的中点；根据直角三角形的性质，可得BE=AE，故∠AEC=2∠B=∠C；
（2）同（1），可得BD=2AE，再根据（1）的结论可得AE=AC，代换可得结论；
（3）根据勾股定理可得AB的长，结合（1）（2）的结论，可得答案．
点评：本题考查直角三角形的有关性质、勾股定理及三角形的内角和定理．