Question

如图1，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点E是BC边上一点，∠DEF=45°且角的两边分别与边AB，射线CA交于点P，Q．
（1）如图2，若点E为BC中点，将∠DEF绕着点E逆时针旋转，DE与边AB交于点P，EF与CA的延长线交于点Q．设BP为x，CQ为y，试求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）如图3，点E在边BC上沿B到C的方向运动（不与B，C重合），且DE始终经过点A，EF与边AC交于Q点．探究：在∠DEF运动过程中，△AEQ能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据条件由勾股定理可以求出BC的值，再求出∠DEB=∠EQC，就可以得出△BPE∽△CEQ，由相似三角形的性质就可以得出结论；
（2））由∠AEF=∠B=∠C，且∠AQE＞∠C可以得出∠AQE＞∠AEF．从而有AE≠AQ，再分类讨论，当AE=EQ时和AQ=EQ时根据等腰三角形的性质和全等三角形的性质就可以求出BE的值．

解答：解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC=2，
∴∠B=∠C，BC=2

2

．
又∵∠FEB=∠FED+∠DEB=∠EQC+∠C，∠DEF=∠C，
∴∠DEB=∠EQC，

∴△BPE∽△CEQ，
∴

BP

BE

=

CE

CQ

．
设BP为x，CQ为y，
∴

x

2

=

2

y

．
∴y=

2

x

，自变量x的取值范围是0＜x＜1；
      
（2）∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AQE＞∠C，
∴∠AQE＞∠AEF．
∴AE≠AQ．
当AE=EQ时，
∴∠EAQ=∠EQA，
∵∠AEQ=45°，
∴∠EAQ=∠EQA=67.5°，
∵∠BAC=90°，∠C=45，
∴∠BAE=∠QEC=22.5°．
∵在△ABE和△ECQ中，

∠B=∠C ∠BAE=∠CEQ AE=EQ

，
∴△ABE≌ECQ（AAS）．

∴CE=AB=2．
∴BE=BC-EC=2

2

-2；
当AQ=EQ时，可知∠QAE=∠QEA=45°，
∴AE⊥BC．
∴点E是BC的中点．
∴BE=

2

．
综上，在∠DEF运动过程中，△AEQ能成等腰三角形，此时BE的长为2

2

-2或

2

．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时合理利用相似三角形的性质和全等三角形的性质是关键．