Question

如图等边△ABC，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F．
（1）写出图中全等三角形．
（2）BD²=AD•DF吗？请说明理由．

Answer 1

解：（1）全等三角形：△ABD≌△BCE，△ABE≌△CAD．
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠C=60°，
∵在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS）；
同理：△ABE≌△CAD（SAS）；

（2）BD²=AD•DF．
理由：∵△ABD≌△BCE，
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠BDF=∠ADB，
∴△BDF∽△ADB，
∴，
∴BD²=AD•DF．
分析：（1）由等边△ABC中，BD=CE，理由SAS即可证得△ABD≌△BCE；同理可证得：△ABE≌△CAD（SAS）；
（2）由△ABD≌△BCE，可得∠BAD=∠CBE，又由∠BDF=∠ADB，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得△BDF∽△ADB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得BD²=AD•DF．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．