Question

解答题
①已知：如图，在△ABC中，∠CAB=120°，AB=4，AC=2，AD⊥BC，D是垂足．求：AD的长．
②如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

Answer 1

分析：①过C作CE⊥BE交BA的延长线于E，求出∠ACE=30°，求出AE，CE，根据三角形面积公式得出AB×CE=CB×AD，代入求出即可；
②根据题意画出P点的位置，得出A、C关于小河对称，求出BO、CO，根据勾股定理求出BC，即可求出答案．

解答：①解：过C作CE⊥BA交BA的延长线于E，
∵∠CAB=120°，
∴∠CAE=60°，
∴∠ACE=30°
∵AC=2，
∴AE=

1

2

AC=1
∵在Rt△ACE中，由勾股定理可得：CE²=AC²-AE²=3，
∴CE=

3

，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得：BC²=CE²+BE²=28，
∴BC=2

7

∵S△ABC=

1

2

AB×CE=

1

2

CB×AD，
∴

1

2

×4×

3

=

1

2

×2

7

×AD，
∴AD=

2

7

21

；
②解：
作A关于小河（EF）的对称点C，连接BC交EF于P，则此时AP+BP最小，
过B作OB⊥AC于O，
则BO=8，CA=4+4=8，CO=8+7=15，
则PA+PB=PC+PB=BC=

152+82

=17（km），
答：要完成这件事情所走的最短路程是17km．

点评：本题考查了勾股定理、轴对称-最短路线问题、含30度角的直角三角形的应用，解（1）的关键是得出关系式AB×CE=CB×AD和求出CB、CE的长，解（2）的关键是找出P点的位置．