Question

已知关于x的一元二次方程4x2+mx+

1

2

m-4=0
（1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）若方程的两个实数根为x₁和x₂，且满足6

x

2 1

+mx1+

1

2

m+2

x

2 2

-8=0，求m的值．

Answer 1

分析：（1）要证明方程有两个不相等的实数根，即证明△＞0即可；
（2）根据方程的两个实数根为x₁和x₂，写出两根之和和两根之积，再把等式6

x

1 2

+mx1+

1

2

m+2

x

2 2

-8=0进行化简，即可得到关于m的一元二次方程，解得m．

解答：（1）证明：∵一元二次方程为4x2+mx+

1

2

m-4=0，
∴△=m²-8m+64=（m-4）²+48＞0，
∴不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：∵方程的两个实数根为x₁和x₂，
∴x₁+x₂=-

m

4

，x₁x₂=

1 2 m-4

4

，
∵6x₁²+mx₁+

1

2

m+2x₂²-8=0，
∴x₁²+x₂²=2，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=2，
∴m²-4m=0，
解得m=0或4．

点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式的知识点，熟练掌握若x₁，x₂是方程x²+px+q=0的两根时，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，方程总有两个实数根，则一元二次方程根的判别式△＞0恒成立．