Question

某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的售价和成本进行了调研，结果如下：每件商品的售价M（元）与时间t（月）的关系可用一条线段上的点来表示（如图1），每件商品的成本Q（元）与时间t（月）的关系可用一条抛物线的一部分上的点来表示（如图2）。

（说明：图1、图2中的每个实心黑点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本。）

请你根据图象提供的信息回答：

（1）每件商品在3月份出售时的利润（利润＝售价－成本）是多少元？

（2）求图2中表示的每件商品的成本Q（元）与时间t（月）之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；

（3）你能求出三月份至七月份每件商品的利润W（元）与时间t（月）之间的函数关系式吗？（请写出计算过程，不要求写自变量的取值范围）若该公司共有此种商品30000件，准备在一个月内全部售完，请你计算一下至少可获利多少元？

Answer 1

解：（1）每件商品在3月份出售时的利润为5元

（2）∵抛物线的顶点坐标为（6，4）

∴设抛物线的解析式为Q=a(t-6)²+4

∵抛物线过（3，1）点

∴1=a(3-6)²+4

解得：a=-

∴Q=- (t-6)^­­2+4=-t²+4t-8,其中t=3、4、5、6、7   

（3）设每件商品的售价M（元）与时间t(月)之间的函数关系式为M=kt+b

∵线段过（3，6）、（6，8）两点

∴

解得：k=,b=4

∴M=  t+4，其中t=3、4、5、6、7                         

所以每件商品的利润W（元）与时间t（月）的函数关系式为

W=M-Q=(t+4)-(-t²+4t-8)= t²-t+12          

∴W=(t-5)²+ ,其中t=3、4、5、6、7

∴当t=5时，W的最小值为元                 

∴30000件商品一个月内售完，至少获利30000×=110000元

答：30000件商品一个月内售完，至少获利110000元.