题目内容

设C是线段AB的黄金分割点AB=4cm，则AC=________cm．

（2 $\text{[math]}$ -2）或（6-2 $\text{[math]}$ ）
分析：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（ $\text{[math]}$ ）叫做黄金比．
解答：根据黄金分割点的概念，应有两种情况，
当AC是较长线段时，AC=4× $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ -2；
当AC是较短线段时，则AC=4-2 $\text{[math]}$ +2=6-2 $\text{[math]}$ ．
故本题答案为：2 $\text{[math]}$ -2或6-2 $\text{[math]}$ ．
点评：考查了黄金分割点的概念，此题主要是注意应有两种情况．

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（如图1），点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP，如果

，那么称点P为线段AB的黄金分割点，设

=k，则k就是黄金比，并且k≈0.618．

（1）以图1中的AP为底，BP为腰得到等腰△APB（如图2），等腰△APB即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足

≈0.618的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：

；
（2）如图1，设AB=1，请你说明为什么k约为0.618；
（3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为S₁和面积为S₂的两部分（设S₁＜S₂），如果

，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图3），点P是线段AB的黄金分割点，那么直线CP是△ABC的黄金分割线吗？请说明理由；
（4）图3中的△ABC的黄金分割线有几条？

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