Question

【题目】探究题
如图1，等边△ABC中，BC=4，点P从点B出发，沿BC方向运动到点C，点P关于直线AB、AC的对称点分别为点M、N，连接MN．

（1）【发现】
当点P与点B重合时，线段MN的长是 ．
当AP的长最小时，线段MN的长是；
（2）【探究】
如图2，设PB=x，MN2=y，连接PM、PN，分别交AB，AC于点D，E．
用含x的代数式表示PM= ， PN=；
（3）求y关于x的函数关系式，并写出y的取值范围；
（4）当点P在直线BC上的什么位置时，线段MN=3 （直接写出答案）
（5）【拓展】
如图3，求线段MN的中点K经过的路线长．

（6）【应用】
如图4，在等腰△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，BC=2，点P、Q、R分别为边BC、AB、AC上（均不与端点重合）的动点，则△PQR周长的最小值是 ．
（可能用到的数值：sin75°= ，cos75°= ，tan75°=2+ ）

Answer 1

【答案】
（1）4 ；6
（2）
x；
（4﹣x）
（3）

解：

如图2，分别过点M，N作直线BC的垂线MF，NG，垂足分别是F，G，过点M作MH⊥NG垂足为H．

∵在Rt△PMF中，∠MPF=30°，PM= x，

∴MF= x，PF= x，

同理，在Rt△PNG中，∠NPG=30°，PN= （4﹣x），

∴NG= （4﹣x），PG= （4﹣x），

∵四边形MFGH是矩形，则有

NH=NG﹣HG=NG﹣MF= （4﹣x）﹣ x= （2﹣x），

MH=FG=PF+PG= x+ （4﹣x）=6，

∴在Rt△MNH中，由勾股定理得，

MN2=NH2+MH2=3（x﹣2）2+36，

则y=3（x﹣2）2+36，

∵0≤x≤4，且当x=2时，y最小值=36；当x=0或4时，y最大值=48，

∴36≤y≤48

（4）

解：∵MN=3 ，MN2=63，

∴当y=63时，即3（x﹣2）2+36=63，

∴x=5或1，

∴当点P在B点右侧距离为5，或者在点P在B点左侧距离为1的位置处，均有线段MN=3

（5）

解：如图3，分别过点M，N作直线BC的垂线MF，NG，垂足分别是F，G，连接MG，过MN的中点K，作KT⊥BC于点T，交MG于点S．

∵MF∥KT∥NG，且点K为MN的中点，

∴KS是△MNG的中位线，

ST是△GMF的中位线，

（6）2+
【解析】解：【发现】当AP的长最小时，AP⊥BC，即点P为BC的中点时，
此时E、F分别为AB、AC的中点，
∴PE= AC，PF= AB，EF= BC，
∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=6；
当点P和点B重合时，
此时G（H）为AB（AC）的中点，
∴CG=2 BH=2 ，
BN=4 ；
所以答案是：4 ，6；
【探究】PM=2PD=2× PB= x，PN=2PE=2× PC=2× （4﹣x）= （4﹣x）；
所以答案是： x， （4﹣x）；
【拓展】
由【探究】中的过程可知，若设PB=x，则有PC=4﹣x，MF= x，NG= （4﹣x），
由三角形中位线性质可得，ST= MF= x，KS= NG= （4﹣x），
∴KT=ST+KS= x+ （4﹣x）= ，
因此，在点P运动过程中，MN的中点 K到BC边距离始终等于定值 ，且为
等边△ABC高的一半，所以MN的中点K经过的路线恰为等边△ABC的中位线，其路线长为2．
【应用】过BC的中点P作AB，AC的对称点M，N，连接MN交AB与Q，交AC于R，

则此时△PQR周长最小，
∵∠BAC=30°，
∴∠B=∠C=75°，∠MPN=150°，
∴∠M=∠N=15°，
∴∠MQB=∠PQB=∠B=75°，
∴MN∥BC，PQ=PB=1，
同理PR=PC=1，
∵AP⊥BC，
∴AP⊥MN．
∵∠PQR=180°﹣75°﹣75°=30°，
∴QR=2× PQ= ，
∴△PQR周长的最小值是2+ ．
所以答案是：2+ ．