Question

【题目】如图所示，已知抛物线经过点三点，点与点关于轴对称，点是线段上的一个动点，设点的坐标为过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．

（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；

（2）在点运动过程中，是否存在点，使得是直角三角形?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接，将绕平面内某点顺时针旋转，得到，点的对应点分别是点．若的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为"和谐点"，请直接写出"和谐点"的个数和点的横坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点的坐标为或；（3）2个，的横坐标为1或

【解析】

（1）根据点A、B的坐标设交点式解析式，将点C的坐标代入求值即可；

（2）先求出直线BD的解析式，分两种情况： 或，利用相似三角形分别求出答案即可；

（3）两个和谐点：OA=1，OC=2，设(x，y)，则(x+2，y-1)，(x,y-1)，

当、在抛物线上时，的横坐标是1，当、在抛物线上时，的横坐标是2.

(1)由抛物线过点,可设解析式为将点代人,得,

解得

则抛物线解析式为；

(2)由题意知点坐标为．

设直线解析式为,

将代入,得

解得

∴直线解析式为

若是直角三角形，如图所示：

分以下两种情况:

①当时， ，

则，

∵，

∴，

∵,

∴，

∴．

∴．

∴，即

解得．

当时,点均与点重合,不能构成三角形,舍去span>,

∴,点的坐标为

②当时，此时点与点重合， ,

此时，点的坐标为；

综上,点的坐标为或时，是直角三角形．

(3)两个和谐点，

∵A(-1，0)，C（0,2），

∴OA=1，OC=2，

设(x，y)，则(x+2，y-1)，(x,y-1)，

当、在抛物线上时，得+1 ，

解得x=1，

∴的横坐标是1；

当、在抛物线上时，

，

解得x=，

∴的横坐标为，

综上，点的横坐标为1或.