Question

如图，正方形ABCD中，E、F分别是BC边、CD边上的动点，满足∠EAF=45°．
（1）求证：BE+DF=EF；
（2）若正方形边长为1，求△CEF内切圆半径的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）延长FD到G，使DG=BE，连接AG，证△GDA≌△EBA，△GAF≌△EAF，根据全等三角形的性质得出GD+DF=BE+DF=EF进而求出即可；
（2）首先令BE=a，DF=b，则EF=a+b，r==1-（a+b），进而利用勾股定理得出（a+b）²+（a+b）-1≥0，进而求出即可．
解答：（1）证明：延长FD到G，使DG=BE，连接AG，
∵在△GDA和△EBA中，
，
∴△GDA≌△EBA，
∴AG=AE，∠GAD=∠EAB，
故∠GAF=45°，
在△GAF和△EAF中，
∵，
∴△GAF≌△EAF，
∴GF=EF，
即GD+DF=BE+DF=EF；

（2）解：令BE=a，DF=b，则EF=a+b，r==1-（a+b），
∵（1-a）²+（1-b）²=（a+b）²，
整理得1-（a+b）=ab，而ab≤（a+b）²，
（a+b）²+（a+b）-1≥0，
解得：a+b≥-2+2或a+b≤-2-2（舍去），
r=1-（a+b）≤1-（-2+2）=3-2，
当且仅当a=b=-1时，等号成立．
点评：本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定以及勾股定理的综合应用以及不等式的解法等知识，作出辅助线延长FD到G，使DG=BE，利用全等三角形性质与判定求出是解题关键．