Question

在1，2，…，2007这2007个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中的每一个都与2007互质，并且所取出的数中的任意三个的和都不是7的倍数．

Answer 1

分析：根据2007=3×3×223，因而都与2007不互质的数是3，2×3，3×3，…，669×3以及223，2×223，4×223，5×223，7×223，8×223；根据从1到2007所有的数中，除以7余数一定是1，2，3，4，5，若和都不是7的倍数的情况即可确定．从而确定数的个数．

解答：解：将1，2，…，2007分别用7除，余数为1、2、3、4、5…的各有286+1=287个；
余数为6、0的各有286个．
在1，2，，2007中，与2007不互质的数有3，2×3，3×3，…，669×3以及223，2×223，4×223，5×223，7×223，8×223．
将这些与2007不互质的数分别用7除，余数依次为3，6，2，5，1，4，0，3，6，2，5，1，4，0，，3，6，2，5以及6，5，3，2，0，6．
于是，在这些与2007不互质的数中，余数为1、2、3、4、5、6、0的依次有95、97、97、95、97、98、96个．
在1，2，…，2007且与2007互质的数中，余数为1、2、3、4、5、6、0的依次有192、190、190、192、190、188、190个．
要使所取出的数中的任意三个的和都不是7的倍数，至多取2个余数为0的数．
由于余数为（1，3，3）、（3，2，2）、（2，6，6）、（6，4，4）、（4，5，5）、（5，1，1）以及（1，2，4）、（3，6，5）的三数的和都是7的倍数，
因此，至多取2组其余数在图2中不相邻的全部数．
验证可知，取2组余数为1、4的全部数，再取2个余数为0的数，符合题目的要求，且取出的数的个数达到最大值．
故最多可以取出192+192+2=386个数，使得所取出的数中的每一个都与2007互质，并且所取出的数中的任意三个的和都不是7的倍数．

点评：本题主要考查了带余数的数的除法，注意从1到2007所有的数中，除以7所得的余数的循环关系是解题的关键．