Question

已知在△ABC中，∠A=45°，AB=7，tanB=

4

3

，动点P、D分别在射线AB、AC上，且∠DPA=∠ACB，设AP=x，△PCD的面积为y．
（1）求△ABC的面积；
（2）如图，当动点P、D分别在边AB、AC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）如果△PCD是以PD为腰的等腰三角形，求线段AP的长．

Answer 1

分析：（1）过C作CH⊥AB于H，在Rt△ACH、Rt△CHB中，分别用CH表示出AH、BH的长，进而由AB=AH+BH=7求出CH的长，即可得到AH、BH的长，由三角形的面积公式可求得△ABC的面积；
（2）由∠DPA=∠ACB，可证得△DPA∽△BCA，根据相似三角形得出的成比例线段可求得AD的表达式，进而可得到CD的长；过P作PE⊥AC于E，根据AP的长及∠A的度数即可求得PE的长；以CD为底、PE为高即可求得△PCD的面积，由此可得出y、x的函数关系；
求自变量取值的时，关键是确定AP的最大值，由于P、D分别在线段AB、AC上，AP最大时D、C重合，可根据相似三角形得到的比例线段求出此时AP的长，由此可得到x的取值范围；
（3）在（2）题中，已证得△ADP∽△ABC，根据相似三角形得到的比例线段，可得到PD的表达式；若△PDC是以PD为腰的等腰三角形，则可分两种情况：PD=DC或PD=PC；
①如果D在线段AC上，此时∠PDC是钝角，只有PD=DC这一种情况，联立两条线段的表达式，即可求得此时x的值；
②如果D在线段AC的延长线上，可根据上面提到的两种情况，分别列出关于x的等量关系式，即可求得x的值．

解答：解：（1）作CH⊥AB，垂足为点H，设CH=m；
∵tanB=

4

3

，∴BH=

3

4

m（1分）
∵∠A=45°，∴AH=CH=m
∴m+

3

4

m=7；（1分）
∴m=4；（1分）
∴△ABC的面积等于

1

2

×7×4=14；（1分）

（2）∵AH=CH=4，
∴AC=4

2

∵∠DPA=∠ACB，∠A=∠A，
∴△ADP∽△ABC；（1分）
∴

AD

AB

=

AP

AC

，即

4 2 -CD

7

=

x

4 2

∴CD=

32-7x

4 2

；（1分）
作PE⊥AC，垂足为点E；
∵∠A=45°，AP=x，
∴PE=

x

2

；（1分）
∴所求的函数解析式为y=

1

2

•

32-7x

4 2

•

x

2

，即y=-

7

16

x2+2x；（1分）
当D到C时，AP最大．
∵△CPA∽△BCA
∴

AP

AC

=

AC

AB

∴AP=

AC2

AB

=

32

7

，
∴定义域为0＜x＜

32

7

；（1分）

（3）由△ADP∽△ABC，得

PD

BC

=

AP

AC

，即

PD

5

=

x

4 2

；
∴PD=

5x

4 2

；（1分）
∵△PCD是以PD为腰的等腰三角形，
∴有PD=CD或PD=PC；
（i）当点D在边AC上时，
∵∠PDC是钝角，只有PD=CD
∴

5x

4 2

=

32-7x

4 2

；
解得x=

8

3

；（1分）
（ii）当点D在边AC的延长线上时，CD=

7x-32

4 2

，PC=

(x-4)2+42

（1分）
如果PD=CD，那么

32-7x

4 2

=

(x-4)2+42

解得x=16（1分）
如果PD=PC，那么

5x

4 2

=

(x-4)2+42

解得x₁=32，x2=

32

7

（不符合题意，舍去）（1分）
综上所述，AP的长为

8

3

，或16，或32．

点评：此题考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、二次函数的应用等知识，同时还考查了分类讨论的数学思想方法，难度较大．