Question

如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）若AB=17，AD=9，求AE的长．

Answer 1

分析：（1）求出CE=CF，∠F=∠CEB=90°，根据HL证出两三角形全等即可．
（2）求出DF=BE，证Rt△AFC≌Rt△AEC，推出AF=AE，设DF=BE=x，得出方程17-x=9+x，求出x，即可求出答案．

解答：（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，
在Rt△BCE与Rt△DCF中，

BC=CD CE=CF

，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）；

（2）解：∵Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴DF=BE，
∵∠F=∠CEA=90°，
∴在Rt△AFC和Rt△AEC中

AC=AC CF=CE

∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL），
∴AF=AE，
设DF=BE=x
∵AB=17，AD=9，
∴17-x=9+x
解得：x=4
∴AE=17-4=13．

点评：本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．直角三角形全等的判定定理是SAS，ASA，AAS，SSS，HL．