Question

如图所示，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE交于O，试猜想线段AE、CD与AC的关系，并证明．

Answer 1

分析：在AC上取一点F，使AF=AE，连接OF，就可以得出△AOE≌△AOF，就可以得出∠AOE=∠AOF，由角平分线的性质就可以得出∠AOE=∠AOF=60°，就可以得出△COD≌△COF，就可以得出DC=FC，由CF+AF=AC就可以得出AC=DC+AE．

解答：解：CD+AE=AC．
理由：在AC上取一点F，使AF=AE，连接OF，
∵AD、CE是△ABC的角平分线，
∴∠DAC=∠DAB=

1

2

∠BAC，∠ECA=∠ECB=

1

2

∠ACB．
∵∠ABC+∠BCA+∠BAC=180°，且∠60°，
∴∠BAC+∠BCA=120°，
∴

1

2

∠BAC+

1

2

∠BCA=60°．
∴∠DAC+∠ECA=60°．
∵∠DAC+∠ECA=∠AOE，
∴∠AOE=60°．
∵∠AOE=∠COD，
∴∠COD=60°．
在△AOE和△AOF中

AE=AF ∠DAC=∠DAB AO=AO

，
∴△AOE≌△AOF（SAS），
∴∠AOE=∠AOF．
∴∠AOF=60°．
∵∠DOC+∠COF+∠AOF=180°，
∴∠COF=60°．
∴∠COF=∠COD．
在△COD和△COF中

∠ECB=∠ECA CO=CO ∠COD=∠COF

，
∴△COD≌△COF（ASA），
∴CD=CF，
∵CF+AF=AC，
∴CD+AE=AC．

点评：本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．