Question

【题目】在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AB＝BC，过点A作BC的垂线交BC于点E，交BD于点M，∠ABC＞60°．

（1）若ME＝3，BE＝4，求EC的长度．

（2）如图，延长CE至点G；使得EC＝GE；过点G作GF垂直于AB的延长线于点H，交AE的延长线于点F，

求证：AE＝GF+EF．

Answer 1

【答案】（1）CE＝；（2）见解析

【解析】

（1）由邻边相等的平行四边形得出四边形ABCD是菱形，得出AC⊥BD，∠BOC＝90°，OA＝OC，OB＝OD，证出∠MBE＝∠CAE，证得△MBE∽△CAE，得出＝＝，由勾股定理求出MB＝＝5，则＝＝，设CE＝3k，则CA＝5k，CO＝AC＝，CB＝CE+EB＝3k+4，由sin∠OBC＝＝，sin∠MBE＝＝，∠MBE＝∠OBC，得出＝，求出k＝，即可得出结果；

（2）连接CM，易证M是△ABC的三条高的交点，即CM⊥AB，推出GH∥CM，即GF∥CM，得出∠CME＝∠GFE，由AAS证得△CME≌△GFE，得出CM＝GF，EM＝EF，由垂直平分线的性质得出MC＝MA，推出GF＝MA，即可得出结论．

（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，

∴四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，∠BOC＝90°，OA＝OC，OB＝OD，

∴∠MBE+∠ACE＝90°，

∵AE⊥BC，

∴∠AEC＝∠BEM＝90°，∠CAE+∠ACE＝90°，

∴∠MBE＝∠CAE，

∴△MBE∽△CAE，

∴＝＝，

MB＝＝＝5，

∴＝＝，

设CE＝3k，则CA＝5k，

∴CO＝AC＝，

CB＝CE+EB＝3k+4，

∵sin∠OBC＝＝，sin∠MBE＝＝，∠MBE＝∠OBC，

∴＝，

∴k＝，

∴CE＝3k＝；

（2）证明：连接CM，如图2所示：

∵AE⊥BC，BO⊥AC，AE与BO交于M，

∴M是△ABC的三条高的交点，即CM⊥AB，

∵GH⊥AB，

∴GH∥CM，即GF∥CM，

∴∠CME＝∠GFE，

在△CME和△GFE中，

，

∴△CME≌△GFE（AAS），

∴CM＝GF，EM＝EF，

∵BD⊥AC，OA＝OC，

∴MC＝MA，

∴GF＝MA，

∵AE＝AM+ME，

∴AE＝GF+EF．